作为一个专业有限元结构分析人员，应该具备材料力学知识、弹性力学知识、有限元基本理论，以及有限元程序的使用、材料的使用知识、强度理论（准则）和行业标准等。

    但是对于一般的工程技术人员使用有限元分析技术，至少应该具备一些相关概念。否则，只会操纵有限元程序，不能解决实际工程问题。

    本文简要介绍有限元工程分析所需的基础知识，为一般的工程技术人员使用有限元分析技术打下基础。更多的知识，尚需读者进一步学习充实自己。

    这些基础知识如下：

    （1）有限元平衡方程建立、求解；

    （2）有限元计算单元类型的选择；

    （3）有限元计算单元网格划分；

    （4）有限元计算边界条件的选取；

    （5）有限元计算载荷的处理；

    （6）有限元计算取值和工程分析；

    （7）结构分析相关材料知识；

    （8）强度理论（准则）和评定标准（已发表）；

    （9）有限元结构分析程序的使用（待续）。

1.有限元平衡方程建立和求解简介

    1.1 有限元平衡方程建立概述

    设有一个连续弹性体在外力作用下处于平衡状态。现在我们将这个连续弹性体分割成有限个单元体，而且每个单元体的性质（几何性质和物理性质）用节点表达。例如：一个方板分割成81个单元，100个节点，每个节点具有三个自由度（X 、Y和Z向），共有300个自由度。利用几何关系（位移和应变）、物理关系（应力和应变），而且将外力按照一定的原则（静力等效原则）分配到每个节点的自由度上。由于连续弹性体处于平衡状态，因此就可利用虚功原理或位能原理建立一个用节点自由度表达的连续体在外力作用下的平衡方程组（1-1）。

    下面用矩阵表达这个方程组，就得到方程（1-2）和方程（1-3）。公式如下：

    矩阵简化为下式：

    这样就形成了结构的平衡方程。

    式中，

    其含意为：平衡方程的系数[K]_n×m ，我们称为刚度矩阵，平衡方程的未知数{δ}_m×l称为位移，平衡方程的右端项{F}_n×l称为载荷。

    由上式可知用有限元理论推出的结构的平衡方程是一个多元一次方程组。解有限元平衡方程就是解一个多元一次方程组。从概念上讲，有限元不难理解。

 

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    1.2 有限元平衡方程的建立方法

    建立有限元平衡方程通常采用两种方法：一种方法是虚功原理；另一种方法是位能原理。建立有限元平衡方程无论用哪种方法，都必须首先利用弹性体的几何关系（位移和应变的关系）和物理关系（应力和应变的关系），也就是首先建立这两种关系，然后从功的原理或从能的原理导出有限元平衡方程。而要掌握弹性体的几何关系和物理关系，需要有材料力学知识和弹性力学知识。有限元平衡方程的建立过程，还与单元类型有关。详细内容，请参考有关资料和教科书。

    1.3 有限元的求解方法介绍

    用于结构分析的有限元的求解方法基本上分为两类：直接解法和迭代解法。直接解法有高斯消去法、三角分解法以及波前法等；迭代解法有牛顿-拉普森法（Newton-Raphson）、修正牛顿-拉普森法(Modified Newton-Raphson)和准牛顿-拉普森法(Quasi-Nowton-Raphson)等。

    线弹性计算常采用直接解法；非线性（材料非线性和几何非线性）计算一般采用迭代解法，而且以采用增量修正牛顿-拉普森法为最多。几何非线性计算并没有自己的求解方法，而是借用材料非线性的求解方法。对于高度几何非线性问题，例如屈曲问题、接触问题等，还必须采用弧长法进行控制，以解决所遇到的复杂的载荷-位移历史路径过程（见图1-4），较快地得到收敛解。弧长法实际上是控制载荷因子增量的载荷和位移约束条件。

    牛顿-拉普森法是在一个载荷步内，每次迭代所用切变模量（切线夹角E）都不相同；修正牛顿-拉普森法是在一个载荷步内，每次迭代所用切变模量（E）都相同；准牛顿-拉普森法是在一个载荷步内，每次迭代所用切变模量改用割线刚度（割线夹角E）也不相同。见图1-1～图1-3。

    图1-1 牛顿-拉普森法 

    图1-2 修正牛顿-拉普森法

    图1-3 准牛顿-拉普森法

    图1-4 几何非线性载荷-位移路径

    采用牛顿-拉普森迭代法可以得到比较精确的解，但由于在一个载荷步内多次形成刚度矩阵，需占用很长机时；修正牛顿-拉普森迭代法是在一个载荷步内每次迭代只使用初始刚度矩阵，节省了形成刚度矩阵的时间；特别是采用增量修正牛顿-拉普森迭代法，即节省了每步计算的机时，又由于将载荷采用增量逼近计算可得到较精确的解。因此，后者很受用户欢迎；准牛顿-拉普森代法，收敛比较快，MARC程序非线性计算，采用这种方法。有限元平衡方程建立和求解见《建筑钢结构工程实例分析》、《发动机叶片工程应用分析》。

 

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2.有限元计算单元类型的选择

    当前每个大型结构分析程序中，单元库的单元类型都比较丰富，可根据需要任意选择。对于ANSYS程序中的单元类型，如果没有特殊要求，结构分析时建议选择下列常用单元：

    （1）线单元

    线单元包括梁单元、拉杆单元和拉索单元等。对于梁单元通常选择BEAM3、BEAM4和BEAM188单元；对于拉杆单元通常选择LINK1、LINK8单元；对于拉索单元通常选择LINK10单元。

    （2）面单元

    面单元包括平面单元（平面应力和平面应变）和薄壳单元。对于平面单元通常选择Solid  Quad 4Node42单元；对于薄壳单元通常选择Shell Elastic 4Node63单元。

    （3）体单元

    体单元类型较多，通常选择8Node45、20Node95单元即可。

    列举的上述单元，对于一般工程结构分析，都能满足要求。

3.有限元计算单元网格划分

    用有限元进行结构分析时，首先应该对结构的几何模型进行网格划分。当计算方法和边界条件确定以后，几何模型网格划分好坏，直接影响计算结果的准确性。通常有这样的说法：边界条件决定计算结果正确与否；网格划分决定计算结果的精确程度。因此，几何模型网格划分是有限元结构分析的重要环节。

    几何模型网格划分至今没有统一的标准可循，但是通过我们多年的经验积累，网格划分可以从以下几个方面考虑。

    （1）单元类型

    对于梁结构，在两个节点之间可根据需要划分多个单元。但要注意：如果想得到中间节点的挠度，需将梁结构划分偶数等分。对于拉杆、拉索，在两个节点之间，一定不要再划分单元，即两节点之间只用一个单元，如果划分几个单元反而不能描述拉杆、拉索的真实变形。

    对于面或体结构网格划分时，尽量采用高精度单元，不采用常应变单元。如果为了模拟复杂边界，对于平面尽量采用6节点三角形单元或8节点四边形单元，不采用3节点三角形单元或4节点四边形单元；对于四面体尽量采用10节点单元，不采用4节点单元；对于五面体尽量采用9节点单元或15节点单元，不采用6节点单元；对于六面体尽量20节点单元，不采用8节点单元。当然这些情况应该具体问题灵活处理，并不是绝对固定的。

    （2）面或体单元形态

    1）网格划分时，单元面内角度的变化用扭曲度描述，它代表了单元面内的扭转和面外翘曲程度。不同单元的扭曲度不同，其值由经验确定。

    2）网格划分时,单元各边之间的比例不能太大，对于线性单元（例如：4节点四边形单元、8节点六面体单元等）要求小于3；对于二次单元（例如：8节点四边形单元、20节点六面体单元等）要求小于10等等。

    （3）面或体单元大小

    标准单元的边长通常以几何模型的最小尺寸确定，即如果几何模型的厚度是结构的最小尺寸，那么标准单元的边长至少应与这个厚度相当。高应力区和应力集中区的单元应该细分，单元大小取决于计算精度要求。

    （4）面或体单元过渡

    1）从小单元到大单元过渡时，应使同一节点所连接的单元不致相差太大，避免突然过渡现象。通常用计算结果调整，保证同一节点所连接的单元精度值至少在0.1以下。单元精度值根据单元内节点应力与节点平均应力的误差计算。

    2）难于过度处最好使用过渡单元，过渡单元的使用要比用同一单元勉强过渡的计算结果要好。例如：对于复杂体结构间的过渡，最好使用“金子塔”单元过渡。

    （5）面或体转接部位的单元

    几何模型圆角过渡处的单元划分，根据弧长对应的圆心角和半径确定，对于半径为3mm左右、圆心角大于90度的转接弧长，通常至少要划分3～4个单元。

    （6）高应力区的单元

    对高应力区，要进行网格细分应力稳定性计算。即采用多次局部网格细分并进行计算，当前、后两次计算结果满足所需的精度要求时（通常要求小于0.03）确定网格。

    总之，几何模型网格划分时，要在单元类型、单元形态、单元大小、单元过渡和局部应力稳定等方面下功夫，才能满足工程上的精度要求，达到预期的结果。

有限元结构分析基础知识介绍(二)